|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Integraal over S1
Hallo wisfaq,
1.
Zij v een vectorruimte met inproduct. Zij u,vÎV met
u^v.
Bewijs (gegeneraliseerde Pythagoras) dat:
||u+v||2 = ||u||2 + ||v||2
2.
Bewijs in situatie van 1 de parallellogramwet
||u+v||2 + ||u-v||2 = 2||u||2 + 2||v||2, voor alle u,vÎV (niet noodzakelijk u^v)
Ik vind dit allemaal wel heel logisch maar hoe kan ik dat nu bewijzen?
Liefs Amy
Antwoord
Beste Amy,
Beide eigenschappen zijn erg makkelijk te bewijzen als je dit even gebruikt als tussenredenering:
Het kwadraat van de norm van een vector wordt gedefinieerd als het inproduct met zichzelf:
||x+y||2 =  x+y,x+y
Als je dit inproduct uitwerkt krijg je :
||x+y||2 = x+y,x+y = ||x||2 + 2x,y + ||y||2
Hiermee kunnen we jouw stelling nu handig bewijzen.
Voor Pythagoras is het nu feitelijk al bewezen, "2x,y" is immers 0 doordat x en y orthogonaal zijn, er blijft dus over:
||x+y||2 = ||x||2 + ||y||2
Voor de parallellogramregel doe je hetzelfde voor de norm van "x-y", je krijgt dan voor die laatste regel:
||x-y||2 = x-y,x-y = ||x||2 - 2x,y + ||y||2
Als je in die 2 uitdrukkingen alles naar één lid brengt behalve 2x,y (en -2x,y), dan krijg je deze 2:
2x,y = ||x+y||2 - ||x||2 - ||y||2
- 2x,y = ||x-y||2 - ||x||2 - ||y||2
Beide uitdrukkingen lid aan lid optellen geeft:
0 = ||x+y||2 +||x-y||2 - 2||x||2 - 2||y||2
Dus: ||x+y||2 +||x-y||2 = 2||x||2 + 2||y||2
Ziezo, hopelijk kom je er aan uit.
mvg,
Tom
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
